http://hotfile.com/dl/135792356/b7fcc45/ebooksclub.org__An_Introduction_to_Algebraic_Topology__Graduate_Texts_in_Mathematics_.djvu.html
http://hotfile.com/dl/135791882/a4504e8/ebooksclub.org__Algebraic_Topology__A_Student__039_s_Guide__London_Mathematical_Society_Lecture_Note_Series__(1).djvu.html
23 Kasım 2011 Çarşamba
1 Kasım 2011 Salı
Cebirsel Topoloji Kaynak
Kolay ve anlaşılır bir Cebirsel Topoloji kitabı....
http://hotfile.com/dl/133958924/6f3560d/ebooksclub.org__Algebraic_Topology.pdf.html
http://hotfile.com/dl/
24 Haziran 2011 Cuma
4 Renk Teoremi
Teorem: Sonlu sayıda bölgeden oluşan bir harita, birbirine sonsuz sayıda nokta boyunca komşu olan iki bölgenin renkleri birbirinden farklı olmak üzere, boyanacaksa bu işlem için dört rengin yeterli olacağı bir strateji vardır.
Bu teoremin doğrudan uygulamalarından birisi harita boyanmasıdır; eğer her ülkenin tek bölgeden oluştuğu varsayılırsa bir siyasi haritanın tüm ülkeleri, komşu ülkeler aynı renge boyanmadan dört renge boyanabilir. Ancak bu uygulamadaki varsayım, dünya haritası için uygun olmayıp Amerika Birleşik Devletleri ve Azerbaycan gibi birden fazla bölgeden oluşan ülkeler bulunmaktadır.
22 Haziran 2011 Çarşamba
Kompleks Analiz
Yine 1977 yılında Berkeley Üniversitesi Doktora sınavında sorulmuş bi kompleks analiz sorusu...
Problem 6 Let
be the function defined by
. Show that 
is harmonic and find 
such that the function 
defined by
Problem 6 Let
be the function defined by. Show that is harmonic and find such that the function defined by is analytic.
Güzel bir kompleks sayı sorusu
Bu soru Berkeley üniversitesinde 1977 yılında sorulmuş.....
Write all values of
in the form 
.
Write all values of
in the form .
16 Haziran 2011 Perşembe
ZİNCİR
Kısmi sıralı bir kümenin tam sıralı her bir alt kümesine bir ZİNCİR denilmektedir.
X={a,b,c,d,e} olmak üzere
{{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d},X } ailesi P(X) de ⊂ kapsama bağıntısına göre bir zincirdir.
Başka bir örnek verelim.
N doğal sayılar kümesinde bir bağıntıyı şöyle tanımlayalım:
eğer n,m sayısını tam olarak bölüyorsa n,≤ bağıntısı ile m e bağlı olsun ( dikkat burada ≤ küçük eşittir anlamında kullanılmamaktadır.)Bu şekilde tanımlanmş bağıntıya göre N kısmi sıralı bir kümedir.(bunun gerçekten böyle olduğunu göstermek için kısmi sıralama bağıntısı olmanın üç şartının sağlandığını göstermek gerekir.)
her n doğal sayısı için
A={1,n, n² ,...} kümesi N de bir zincirdir.
X={a,b,c,d,e} olmak üzere
{{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d},X } ailesi P(X) de ⊂ kapsama bağıntısına göre bir zincirdir.
Başka bir örnek verelim.
N doğal sayılar kümesinde bir bağıntıyı şöyle tanımlayalım:
eğer n,m sayısını tam olarak bölüyorsa n,≤ bağıntısı ile m e bağlı olsun ( dikkat burada ≤ küçük eşittir anlamında kullanılmamaktadır.)Bu şekilde tanımlanmş bağıntıya göre N kısmi sıralı bir kümedir.(bunun gerçekten böyle olduğunu göstermek için kısmi sıralama bağıntısı olmanın üç şartının sağlandığını göstermek gerekir.)
her n doğal sayısı için
A={1,n, n² ,...} kümesi N de bir zincirdir.
KISMİ SIRALI KÜMEDEN TAM SIRALI KÜMEYE
Bir önceki yazımızda kısmi sırlamanın kümenin tüm elemanları üzerinde geçerli olmadığına dikkat çekmiştik.İsterseniz bunu bir örnekle açıklayalım.
X={1,2,3,4,5} alırsak {1,2} ve {4,5} kümeleri P(X) in elemanıdır ancak ne {1,2} kümesi {4,5} kümesini kapsar ne de {4,5} kümesi {1,2} kümesini kapsar.Yani P(X) kümesinin ⊂ bağıntısına göre karşılaştırılamayan elemanları vardır.
Evet tam tahmin ettiğiniz gibi kısmi sıralı kümenin adı da buradan gelmektedir.Kümenin bir kısım elemanlarını karşılaştırabildiğimiz için kısmi sıralı küme diyoruz.
Eğer bir kümenin her eleman çifti, üzerinde tanımlanan bağıntıya göre karşılaştırılabiliyorsa bu kümeye tam sıralı küme denir.
Örneğin R reel sayılar kümesi ' ≤ ' bağıntısı ile tam sıralı kümedir.Gerçekten reel eksenden alınan herhangi iki nokta arasında mutlaka bir küçüklük büyüklük ilişkisi vardır.
Yani her a,b ∈ R için mutlaka ya a ≤ b ya da b ≤ a dır.
X={1,2,3,4,5} alırsak {1,2} ve {4,5} kümeleri P(X) in elemanıdır ancak ne {1,2} kümesi {4,5} kümesini kapsar ne de {4,5} kümesi {1,2} kümesini kapsar.Yani P(X) kümesinin ⊂ bağıntısına göre karşılaştırılamayan elemanları vardır.
Evet tam tahmin ettiğiniz gibi kısmi sıralı kümenin adı da buradan gelmektedir.Kümenin bir kısım elemanlarını karşılaştırabildiğimiz için kısmi sıralı küme diyoruz.
Eğer bir kümenin her eleman çifti, üzerinde tanımlanan bağıntıya göre karşılaştırılabiliyorsa bu kümeye tam sıralı küme denir.
Örneğin R reel sayılar kümesi ' ≤ ' bağıntısı ile tam sıralı kümedir.Gerçekten reel eksenden alınan herhangi iki nokta arasında mutlaka bir küçüklük büyüklük ilişkisi vardır.
Yani her a,b ∈ R için mutlaka ya a ≤ b ya da b ≤ a dır.
15 Haziran 2011 Çarşamba
KISMİ SIRALAMAYA BİR ÖRNEK
Bir X kümesinin bütün alt kümeler ailesi P(X) ile gösterelim.P(X) kümesi ⊂ kapsama bağıntısı ile kısmi sıralı bir kümedir.Şimdi bunun gerçekten gerçeklenip gerçeklenmediğini gösterelim.Bunu yapabilmemiz için kısmi sıralı küme olmanın üç koşulunun sağlandığını göstermemiz gerekir.
U , P(X) in herhangi bir elemanı ise U ⊂ U dır. Yansıma özelliği sağlanmış olur.
P(X) in U ⊂ V ve V ⊂ U özelliklerini sağlayan herhangi iki elemanı U ve V ise U = V dir.Dolayısıyla ters simetri özelliği sağlanır.
P(X) in U ⊂ V ve V ⊂ W özelliklerini sağlayan herhangi üç elemanı U,V ve W ise U ⊂ W dir.Dolayısıyla geçişme özelliği de sağlanır.
Şu göz ardı edilmemelidir ki X in ⊂ bağıntısına göre karşılaştırılamayan elemanları vardır.
U , P(X) in herhangi bir elemanı ise U ⊂ U dır. Yansıma özelliği sağlanmış olur.
P(X) in U ⊂ V ve V ⊂ U özelliklerini sağlayan herhangi iki elemanı U ve V ise U = V dir.Dolayısıyla ters simetri özelliği sağlanır.
P(X) in U ⊂ V ve V ⊂ W özelliklerini sağlayan herhangi üç elemanı U,V ve W ise U ⊂ W dir.Dolayısıyla geçişme özelliği de sağlanır.
Şu göz ardı edilmemelidir ki X in ⊂ bağıntısına göre karşılaştırılamayan elemanları vardır.
KISMİ SIRALAMA
Çoğu matematikçinin fazlasıyla duyduğu ancak sorulduğu zaman tam olarak tanımlayamadıkları bir kavramdır kısmi sıralama.
Bir X kümesi üzerinde yansıma,ters simetri ve geçişme özelliklerine sahip bir ≤ bağıntısı varsa X kümesine kısmi sıralı veya kısmi sıralanmış küme denir.Yani X kümesi üzerinde şu özellikler vardır
1) her x ∈ X için x ≤ x dir.(Yansıma özelliği)
2) herhangi x,y ∈ X için x ≤ y ve y ≤ x ise x = y dir.( Ters simetri özelliği )
3) herhangi x,y,z ∈ X için x ≤ y ve y ≤ z ise x ≤ z dir. ( Geçişme özelliği)
Evet bir X kümesi bu özellikleri sağladığında biz o kümeye kısmi sıralı küme deriz.Kısmi sıralı bir kümeye verebileceğimiz en güzel örnek reel sayılar kümesidir.Reel sayılar kümesi ' küçük ya da eşit ' bağıntısı ile kısmi sıralı bir kümedir.
Bir X kümesi üzerinde yansıma,ters simetri ve geçişme özelliklerine sahip bir ≤ bağıntısı varsa X kümesine kısmi sıralı veya kısmi sıralanmış küme denir.Yani X kümesi üzerinde şu özellikler vardır
1) her x ∈ X için x ≤ x dir.(Yansıma özelliği)
2) herhangi x,y ∈ X için x ≤ y ve y ≤ x ise x = y dir.( Ters simetri özelliği )
3) herhangi x,y,z ∈ X için x ≤ y ve y ≤ z ise x ≤ z dir. ( Geçişme özelliği)
Evet bir X kümesi bu özellikleri sağladığında biz o kümeye kısmi sıralı küme deriz.Kısmi sıralı bir kümeye verebileceğimiz en güzel örnek reel sayılar kümesidir.Reel sayılar kümesi ' küçük ya da eşit ' bağıntısı ile kısmi sıralı bir kümedir.
Burada ne yapacağız???
Bu bloğun kuruluş amaçlarından biri akademik matematik konuları üstünde tartışmak özellikle matematik bölümü öğrencilerine çalıştıkları konu hakkında farklı bir bakış açısı sunabilmek matematik bölümü okumayı düşünenler için neyle karşılaşacaklarını bir nebze olsun onlara gösterebilmektir.
Burada özellikle matematiğin en zor ancak bir o kadarda zevkli bir dalı olan topoloji başta olmak üzere analiz üzerine yazılarla karşılacaksınız.Bu bloğu takip eden kişilerden yazıları sonuna kadar okuyup anlamadıkları noktaları veya yanlış olduğunu düşündükleri yerleri yaptıkları yorumlarla tartışmalarını isteyeceğim.Amaçlarımdan biri de ufak bir matematik topluluğu oluşturup bilgi paylaşımı yapabilmek..
Burada özellikle matematiğin en zor ancak bir o kadarda zevkli bir dalı olan topoloji başta olmak üzere analiz üzerine yazılarla karşılacaksınız.Bu bloğu takip eden kişilerden yazıları sonuna kadar okuyup anlamadıkları noktaları veya yanlış olduğunu düşündükleri yerleri yaptıkları yorumlarla tartışmalarını isteyeceğim.Amaçlarımdan biri de ufak bir matematik topluluğu oluşturup bilgi paylaşımı yapabilmek..
14 Haziran 2011 Salı
TOPOLOJİ
Topoloji, Matematiğin ana dallarından biri. Yunanca'da yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs (konumun analizi) deyimi kullanılıyordu.
Topoloji sözcüğü bir topolojik uzayı tanımlamak için inşa edilen ve belli koşulları sağlayan kümeler ailesi için de kullanılır. Aşağıdaki matematiksel tanımda bu koşullar sıralanmıştır. Topolojik yapı, geometri bağlamında bir kümenin üzerine konabilecek en basit yapı olarak görülebilir. Başka bir deyişle, topoloji, geometri yapmak için atılan ilk adımdır.
Üzerine topoloji konmuş iki küme arasındaki geçiş, ancak topolojileri gözeten ve sürekli denen gönderimlerle olasıdır. İki topolojik uzayın denkliği, aralarında topolojiyi koruyan ve topolojik eşyapı ya da homeomorfizma denen sürekli bir gönderimin varlığıyla ortaya çıkar. Kabaca, bu tür gönderimler topolojik nesneleri yırtmadan ve koparmadan, eğip bükerek sürekli bir biçimde bir başka nesneye dönüştürür.
Bir homeomorfizmaya örnek olarak, bir üçgenin (içi boş) bir çembere ya da bir çay bardağının, çay tabağına dönüşümü verilebilir. Bunu geometrik olarak görmek çok kolaydır. Gerçekten çay bardağı ya da tabağından birinin kauçuktan yapıldığını düşünürsek, o cismi yırtmadan, kesip koparmadan sadece çekip uzatarak ve eğip bükerek diğer cisme dönüştürebileceğimizi görürüz. Benzer şekilde kulplu bardak ve simidin birbirlerine aynı yöntemle dönüştürülebileceğini de görebiliriz.
Özellikle 19. yüzyılın sonlarına doğru Henri Poincaré'nin çalışmalarıyla kesin temellerine oturtulan topoloji, 20. yüzyıl boyunca gelişmiş ve çeşitli altdallara ayrılmıştır. En temel altdal olan nokta-küme topolojisi, topolojiyi kümeler teorisi düzeyinde inceler; tıkızlık, bağlantılılık, ayrılabilirlik, sayılabilirlik gibi temel kavramlarla ilgilenir. Cebirsel topoloji altdalı, homotopi, homoloji gibi cebirsel-topolojik kuramlar aracılığıyla topolojik uzayları inceler. Türevli topoloji, üzerinde türev işleminin tanımlanabildiği uzayları, örneğin çokkatlıları, türevlenebilir gönderimler aracılığıyla inceler. Düşük boyutlu topoloji, 2,3,4 boyutlu çokkatlıları inceler. Kısacası, topoloji sözcüğünün başına gelen sözcük, altdalın hangi matematiksel yapıları kullanarak topolojik uzayları incelediğini belirtir; örneğin geometrik topoloji, simplektik topoloji, kontakt topoloji vs.
Matematiksel Tanım:
X herhangi bir küme, T ise X kümesinin altkümelerinin bir kısmından oluşan bir küme olsun. Eğer T aşağıdaki koşulları sağlıyorsa T'ye X'in üzerinde bir topoloji denir:
1. Boşküme ve X, T'nin elemanları olmalıdır.
2. T'nin herhangi sayıda elemanının (X'in altkümesi olarak) birleşimi yine T'nin elemanı olmalıdır.
3. T'nin sonlu sayıda elemanının kesişimi yine T'nin elemanı olmalıdır.
Bu koşulların sağlanması durumunda T ile donatılmış X kümesine bir topolojik uzay denir.
T'ye dahil olan her bir altkümeye açık (ya da X'te açık) denir. Tanım gereği, boşküme, X, herhangi sayıda altkümenin birleşimi, sonlu altkümenin kesişimi açık altkümelerdir. Bir altkümenin tümleyeni T'nin içindeyse o altkümeye kapalı denir. Dolayısıyla, boşküme ve X aynı zamanda kapalı altkümelerdir. Tüm bu tanımlardan yola çıkarak bir topolojik uzayda herhangi sayıda kapalı altkümenin kesişimi ve sonlu sayıda kapalı altkümenin birleşiminin kapalı olduğu kolaylıkla gösterilebilir.
T topolojisine dahil olan altkümelere açık denmesi, çok daha eski bir geleneğe dayanmaktadır. Gerçel sayılar çizgisi, üzerindeki uzaklık (metrik) kavramıyla birlikte düşünüldüğünde standart bir topolojik uzay örneğidir: bu uzayda bir noktaya olan uzaklıkları belli bir sayıdan küçük olan noktaların kümesine geleneksel olarak açık aralık denir. Bu tür açık aralıklar (ve herhangi sayıda birleşimleri) gerçel sayılar çizgisinin standart topolojisinin içinde yer alır. Benzer biçimde, bir düzlemin üzerine açık yuvarlar aracılığıyla kurulacak topoloji, geleneksel Öklit düzlemini verecektir. 'Gerçel sayılar topolojik uzayı'ndan kendisine herhangi bir fonksiyonun sürekli olması, analizdeki (calculus) geleneksel süreklilik tanımıyla tamamen aynıdır.
Bir topolojik uzayın (X) bir altkümesi (A) üzerinde, uzayın topolojisi sayesinde bir topoloji kurulabilir. X'te açık herhangi bir kümenin A ile kesişimine A'da açık diyerek oluşturulan topolojiye altuzay topolojisi (tetiklenen topoloji) denir. Örneğin, Öklid düzleminde yatan bir üçgen, tetiklenen topoloji sayesinde sezgisel olarak beklediğimiz topolojik uzay yapısına kavuşur: üçgenin üzerine çizilen açık bir aralık, üçgende açık olacaktır.
X ve Y adlı iki topolojik uzay ve X'ten Y'ye giden bir f gönderimi için, Y'deki herhangi bir açık altkümenin f altında ters görüntüsünün X'te açık olması durumunda f gönderimine sürekli gönderim denir. İki topolojik uzay arasında birebir, örten, tersi ve kendisi sürekli bir gönderime topolojik eşyapı ya da homeomorfizma, bu uzaylaraysa eşyapısal ya da homeomorfik denir. Örneğin, düzlemde yatan bir üçgenle bir çember ya da 3 boyutlu Öklit uzayında yatan bir simitle bir kulplu bardak (bulundukları uzaydan tetiklenen topolojileriyle) birbirlerine homeomorfiktir.
Topoloji sözcüğü bir topolojik uzayı tanımlamak için inşa edilen ve belli koşulları sağlayan kümeler ailesi için de kullanılır. Aşağıdaki matematiksel tanımda bu koşullar sıralanmıştır. Topolojik yapı, geometri bağlamında bir kümenin üzerine konabilecek en basit yapı olarak görülebilir. Başka bir deyişle, topoloji, geometri yapmak için atılan ilk adımdır.
Üzerine topoloji konmuş iki küme arasındaki geçiş, ancak topolojileri gözeten ve sürekli denen gönderimlerle olasıdır. İki topolojik uzayın denkliği, aralarında topolojiyi koruyan ve topolojik eşyapı ya da homeomorfizma denen sürekli bir gönderimin varlığıyla ortaya çıkar. Kabaca, bu tür gönderimler topolojik nesneleri yırtmadan ve koparmadan, eğip bükerek sürekli bir biçimde bir başka nesneye dönüştürür.
Bir homeomorfizmaya örnek olarak, bir üçgenin (içi boş) bir çembere ya da bir çay bardağının, çay tabağına dönüşümü verilebilir. Bunu geometrik olarak görmek çok kolaydır. Gerçekten çay bardağı ya da tabağından birinin kauçuktan yapıldığını düşünürsek, o cismi yırtmadan, kesip koparmadan sadece çekip uzatarak ve eğip bükerek diğer cisme dönüştürebileceğimizi görürüz. Benzer şekilde kulplu bardak ve simidin birbirlerine aynı yöntemle dönüştürülebileceğini de görebiliriz.
Özellikle 19. yüzyılın sonlarına doğru Henri Poincaré'nin çalışmalarıyla kesin temellerine oturtulan topoloji, 20. yüzyıl boyunca gelişmiş ve çeşitli altdallara ayrılmıştır. En temel altdal olan nokta-küme topolojisi, topolojiyi kümeler teorisi düzeyinde inceler; tıkızlık, bağlantılılık, ayrılabilirlik, sayılabilirlik gibi temel kavramlarla ilgilenir. Cebirsel topoloji altdalı, homotopi, homoloji gibi cebirsel-topolojik kuramlar aracılığıyla topolojik uzayları inceler. Türevli topoloji, üzerinde türev işleminin tanımlanabildiği uzayları, örneğin çokkatlıları, türevlenebilir gönderimler aracılığıyla inceler. Düşük boyutlu topoloji, 2,3,4 boyutlu çokkatlıları inceler. Kısacası, topoloji sözcüğünün başına gelen sözcük, altdalın hangi matematiksel yapıları kullanarak topolojik uzayları incelediğini belirtir; örneğin geometrik topoloji, simplektik topoloji, kontakt topoloji vs.
Matematiksel Tanım:
X herhangi bir küme, T ise X kümesinin altkümelerinin bir kısmından oluşan bir küme olsun. Eğer T aşağıdaki koşulları sağlıyorsa T'ye X'in üzerinde bir topoloji denir:
1. Boşküme ve X, T'nin elemanları olmalıdır.
2. T'nin herhangi sayıda elemanının (X'in altkümesi olarak) birleşimi yine T'nin elemanı olmalıdır.
3. T'nin sonlu sayıda elemanının kesişimi yine T'nin elemanı olmalıdır.
Bu koşulların sağlanması durumunda T ile donatılmış X kümesine bir topolojik uzay denir.
T'ye dahil olan her bir altkümeye açık (ya da X'te açık) denir. Tanım gereği, boşküme, X, herhangi sayıda altkümenin birleşimi, sonlu altkümenin kesişimi açık altkümelerdir. Bir altkümenin tümleyeni T'nin içindeyse o altkümeye kapalı denir. Dolayısıyla, boşküme ve X aynı zamanda kapalı altkümelerdir. Tüm bu tanımlardan yola çıkarak bir topolojik uzayda herhangi sayıda kapalı altkümenin kesişimi ve sonlu sayıda kapalı altkümenin birleşiminin kapalı olduğu kolaylıkla gösterilebilir.
T topolojisine dahil olan altkümelere açık denmesi, çok daha eski bir geleneğe dayanmaktadır. Gerçel sayılar çizgisi, üzerindeki uzaklık (metrik) kavramıyla birlikte düşünüldüğünde standart bir topolojik uzay örneğidir: bu uzayda bir noktaya olan uzaklıkları belli bir sayıdan küçük olan noktaların kümesine geleneksel olarak açık aralık denir. Bu tür açık aralıklar (ve herhangi sayıda birleşimleri) gerçel sayılar çizgisinin standart topolojisinin içinde yer alır. Benzer biçimde, bir düzlemin üzerine açık yuvarlar aracılığıyla kurulacak topoloji, geleneksel Öklit düzlemini verecektir. 'Gerçel sayılar topolojik uzayı'ndan kendisine herhangi bir fonksiyonun sürekli olması, analizdeki (calculus) geleneksel süreklilik tanımıyla tamamen aynıdır.
Bir topolojik uzayın (X) bir altkümesi (A) üzerinde, uzayın topolojisi sayesinde bir topoloji kurulabilir. X'te açık herhangi bir kümenin A ile kesişimine A'da açık diyerek oluşturulan topolojiye altuzay topolojisi (tetiklenen topoloji) denir. Örneğin, Öklid düzleminde yatan bir üçgen, tetiklenen topoloji sayesinde sezgisel olarak beklediğimiz topolojik uzay yapısına kavuşur: üçgenin üzerine çizilen açık bir aralık, üçgende açık olacaktır.
X ve Y adlı iki topolojik uzay ve X'ten Y'ye giden bir f gönderimi için, Y'deki herhangi bir açık altkümenin f altında ters görüntüsünün X'te açık olması durumunda f gönderimine sürekli gönderim denir. İki topolojik uzay arasında birebir, örten, tersi ve kendisi sürekli bir gönderime topolojik eşyapı ya da homeomorfizma, bu uzaylaraysa eşyapısal ya da homeomorfik denir. Örneğin, düzlemde yatan bir üçgenle bir çember ya da 3 boyutlu Öklit uzayında yatan bir simitle bir kulplu bardak (bulundukları uzaydan tetiklenen topolojileriyle) birbirlerine homeomorfiktir.
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)